Analysis Beispiele

$f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - (3 x^{2})$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$f' (x) = - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $12 x$ heraus.

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 12 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 12$ heraus.

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ heraus.

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (4)$ heraus.

$- 3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere ${(x - 2)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $2$ .

$2$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 (1) - 12$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 - 12$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 3$ und $12$ .

$f' (1) = 9 - 12$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f' (1) = - 3$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 5.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3) - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3) - 12$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$f' (3) = - 27 + 12 (3) - 12$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$f' (3) = - 27 + 36 - 12$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 27$ und $36$ .

$f' (3) = 9 - 12$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f' (3) = - 3$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 6.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 2), (2, \infty)$

Schritt 8