Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 3$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 24 x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $12 x^{2} - 48 x$ und $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 48 x$ .

$12 x^{2} - 48 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 48 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 48 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2} - 48 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 x (x) - 48 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $- 48 x$ heraus.

$12 x (x) + 12 x (- 4) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x) + 12 x (- 4)$ heraus.

$12 x (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 4$ .

$0, 4$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{2} - 48 \cdot - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot 1 - 48 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f' (- 1) = 12 - 48 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = 12 + 48$

Schritt 5.2.2

Addiere $12$ und $48$ .

$f' (- 1) = 60$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $60$ .

$60$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $60$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f' (2) = 48 - 48 \cdot 2$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $2$ .

$f' (2) = 48 - 96$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $96$ von $48$ .

$f' (2) = - 48$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 48$ .

$- 48$

Schritt 6.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $- 48$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = 12 {(5)}^{2} - 48 \cdot 5$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (5) = 12 \cdot 25 - 48 \cdot 5$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $25$ .

$f' (5) = 300 - 48 \cdot 5$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $5$ .

$f' (5) = 300 - 240$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $240$ von $300$ .

$f' (5) = 60$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $60$ .

$60$

Schritt 7.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $60$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(4, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(0, 4)$

Schritt 9