Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - 5 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $15 u$ aus $15 u^{2} - 15 u$ heraus.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $15 u$ aus $15 u^{2}$ heraus.

$15 u (u) - 15 u = 0$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $15 u$ aus $- 15 u$ heraus.

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Schritt 2.2.3.3

Faktorisiere $15 u$ aus $15 u (u) + 15 u (- 1)$ heraus.

$15 u (u - 1) = 0$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.5.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, - 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 1, - 1$ .

$0, 1, - 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 240 - 60$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $60$ von $240$ .

$f' (- 2) = 180$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $180$ .

$180$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $180$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Kombiniere $15$ und $\frac{1}{16}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 6.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Schritt 6.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 6.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 6.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 6.2.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 6.2.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Schritt 6.2.1.12

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Schritt 6.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Schritt 6.2.2

Um $- \frac{15}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{15}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $60$ von $15$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Schritt 6.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Schritt 6.3

Bei $x = - \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{45}{16}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.4

Kombiniere $15$ und $\frac{1}{16}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 7.2.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 7.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Schritt 7.2.1.8

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Schritt 7.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Schritt 7.2.2

Um $- \frac{15}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{15}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $60$ von $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Schritt 7.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Schritt 7.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Schritt 7.3

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{45}{16}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $16$ .

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $4$ .

$f' (2) = 240 - 60$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $60$ von $240$ .

$f' (2) = 180$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $180$ .

$180$

Schritt 8.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $180$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 1, 0), (0, 1)$

Schritt 10