Analysis Beispiele

$f (x) = 4 - | x |$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - | x |$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Schritt 1.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- | x |$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $\frac{x}{| x |}$ von $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 2.3

Schließe die Lösungen aus, die $- \frac{x}{| x |} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{| x |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{x}{| x |}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 4 - | x |$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{| - 1 |}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$f' (- 1) = 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{| 1 |}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Schritt 7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - 1$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 1$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, \infty)$

Schritt 9