Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 4 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x + 4 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8 x + 4$ und $0$ .

$f' (x) = 8 x + 4$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $8 x + 4$ .

$8 x + 4$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $8 x + 4 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$8 x + 4 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x = - 4$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 4$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 4$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{8}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $8$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$x = \frac{4 (- 1)}{8}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 8 x + 4$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (- \frac{3}{2}) + 4$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (\frac{- 3}{2}) + 4$

Schritt 5.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (4) (\frac{- 3}{2}) + 4$

Schritt 5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{- 3}{2})) + 4$

Schritt 5.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot - 3 + 4$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 12 + 4$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 12$ und $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 8$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 8$ .

$- 8$

Schritt 5.3

Bei $x = - \frac{3}{2}$ ist die Ableitung $- 8$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{1}{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{1}{2})) + 4$

Schritt 6.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 + 4$

Schritt 6.2.2

Addiere $4$ und $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 8$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $8$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \frac{1}{2}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \frac{1}{2}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \frac{1}{2}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - \frac{1}{2})$

Schritt 8