Analysis Beispiele

$f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.8.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Schritt 1.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Schritt 1.1.11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0))$

Schritt 1.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 1.1.12.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.13.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.13.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.1.13.3.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$4 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.4

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.5

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.13.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.6.4

Dividiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.9

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.10

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.13.3.11

Addiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$6 x^{\frac{2}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$6 x^{1} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache $6 x^{1}$ .

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$6 x + 4 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x + 4 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - 4$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 4$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 4$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.4.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 2.5

Schließe die Lösungen aus, die $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 4.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 4.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{4}{\sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 4.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ um.

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Berechne den Exponenten.

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.4.1

Schreibe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ um.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Schritt 6.2.1.4.2

Berechne den Exponenten.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

Schritt 6.2.1.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i}$

Schritt 6.2.1.5

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{4}{i}$ mit der Konjugierten von $i$ , um den Nenner reell zu machen.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Kombinieren.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Schritt 6.2.1.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.6.2.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Schritt 6.2.1.6.2.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

Schritt 6.2.1.6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.1.6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{2}}$

Schritt 6.2.1.6.2.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{- 1}$

Schritt 6.2.1.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 6 i - 1 \cdot (4 i)$

Schritt 6.2.1.8

Schreibe $- 1 \cdot (4 i)$ als $- (4 i)$ um.

$f' (- 1) = 6 i - (4 i)$

Schritt 6.2.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 i - 4 i$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $4 i$ von $6 i$ .

$f' (- 1) = 2 i$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2 i$ .

$2 i$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $2 i$ . Da dies eine imaginäre Zahl beinhaltet, existiert die Funktion nicht in $(- \infty, 0)$ .

Die Funktion ist in $(- \infty, 0)$ nicht real, da $f' (x)$ imaginär ist

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 6 {(1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f' (1) = 6 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 6 + \frac{4}{1}$

Schritt 7.2.1.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$f' (1) = 6 + 4$

Schritt 7.2.2

Addiere $6$ und $4$ .

$f' (1) = 10$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$10$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $10$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \infty)$

Schritt 9