Analysis Beispiele

$f (x) = - 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3.5

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$- 2 + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.3.6.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$- 2 - x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 - x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 - x + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Schritt 1.1.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 - x + \frac{3}{2} x^{2}$

Schritt 1.1.4.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 - x + \frac{3 x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2 = 0$

Schritt 2.2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 2$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 4)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $4$ und $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $4$ und $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.3

Addiere $4$ und $48$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}) \cup (\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3}) \cup (\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.8685171$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} - (- 1.8685171) - 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe $- (- 1.8685171)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1.8685171)}{1} - 2$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{- (- 1.8685171)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1.8685171)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{- (- 1.8685171)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} - 2$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2} + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Potenziere $- 1.8685171$ mit $2$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 \cdot 3.49135615 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3.49135615$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere $- (- 1.8685171) \cdot 2$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1.8685171$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.3.2

Mutltipliziere $1.8685171$ mit $2$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 3.7370342 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 3.7370342 - 4}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $10.47406845$ und $3.7370342$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{14.21110265 - 4}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $4$ von $14.21110265$ .

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.21110265}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Dividiere $10.21110265$ durch $2$ .

$f' (- 1.8685171) = 5.10555132$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $5.10555132$ .

$5.10555132$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1.8685171$ ist die Ableitung $5.10555132$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.8685171, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} - (0.\overline{3}) - 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe $- (0.\overline{3})$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- (0.\overline{3})}{1} - 2$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{- (0.\overline{3})}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- (0.\overline{3})}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{- (0.\overline{3})}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} - 2$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 \cdot 0.11111112 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.11111112$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Multipliziere $- (0.\overline{3}) \cdot 2$ .

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Schritt 6.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 0.\overline{3}$ mit $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.6666667 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.6666667 - 4}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.4.1

Subtrahiere $0.6666667$ von $0.33333336$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{- 0.\overline{3} - 4}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Subtrahiere $4$ von $- 0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = \frac{- 4.\overline{3}}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Dividiere $- 4.\overline{3}$ durch $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - 2.1\overline{6}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 2.1\overline{6}$ .

$- 2.1\overline{6}$

Schritt 6.3

Bei $x = 0.\overline{3}$ ist die Ableitung $- 2.1\overline{6}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 0.8685171, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.5351838$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} - (2.5351838) - 2$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe $- (2.5351838)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- (2.5351838)}{1} - 2$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{- (2.5351838)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- (2.5351838)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{- (2.5351838)}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} - 2$

Schritt 7.2.1.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2} - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $2.5351838$ mit $2$ .

$f' (2.5351838) = \frac{3 \cdot 6.42715689 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6.42715689$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.3.3

Multipliziere $- (2.5351838) \cdot 2$ .

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Schritt 7.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.5351838$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 2.5351838$ mit $2$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 5.0703676 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 5.0703676 - 4}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.4.1

Subtrahiere $5.0703676$ von $19.28147069$ .

$f' (2.5351838) = \frac{14.21110309 - 4}{2}$

Schritt 7.2.4.2

Subtrahiere $4$ von $14.21110309$ .

$f' (2.5351838) = \frac{10.21110309}{2}$

Schritt 7.2.4.3

Dividiere $10.21110309$ durch $2$ .

$f' (2.5351838) = 5.10555154$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $5.10555154$ .

$5.10555154$

Schritt 7.3

Bei $x = 2.5351838$ ist die Ableitung $5.10555154$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}), (\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$

Schritt 9