Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 60 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 9 x^{2} - 60 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 60 x$ nach $x$ gleich $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 60 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 60 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 60$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 60$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} - 18 x - 60$ .

$6 x^{2} - 18 x - 60$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} - 18 x - 60 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} - 18 x - 60 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 18 x - 60$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{2}) - 18 x - 60 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 18 x$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) - 60 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 60$ heraus.

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ heraus.

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot - 10$ heraus.

$6 (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (x - 5) (x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (x - 5) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $5, - 2$ .

$5, - 2$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} - 18 \cdot - 3 - 60$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 - 18 \cdot - 3 - 60$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f' (- 3) = 54 - 18 \cdot - 3 - 60$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 + 54 - 60$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $54$ und $54$ .

$f' (- 3) = 108 - 60$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $60$ von $108$ .

$f' (- 3) = 48$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$48$

Schritt 5.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $48$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 {(\frac{3}{2})}^{2} - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{2^{2}}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{4}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (3) (\frac{9}{4}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{2}) - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 9}{2} - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 18 (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 (- 9) (\frac{3}{2}) - 60$

Schritt 6.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2})) - 60$

Schritt 6.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 9 \cdot 3 - 60$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 - 60$

Schritt 6.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $- 27$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} - 60$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 27}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} - 60$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 27}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} - 60$

Schritt 6.2.2.4

Schreibe $- 60$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{- 60}{1}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 60}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{- 60}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 60}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{- 60 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2 - 60 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 - 60 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $- 60$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 - 120}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.5.1

Subtrahiere $54$ von $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 120}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $120$ von $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 147}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{147}{2}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{147}{2}$ .

$- \frac{147}{2}$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{3}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{147}{2}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2, 5)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2, 5)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = 6 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 - 60$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Multipliziere $6$ mit ${(6)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1.1.1

Mutltipliziere $6$ mit ${(6)}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.1

Potenziere $6$ mit $1$ .

$f' (6) = 6 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 - 60$

Schritt 7.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (6) = 6^{1 + 2} - 18 \cdot 6 - 60$

Schritt 7.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (6) = 6^{3} - 18 \cdot 6 - 60$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f' (6) = 216 - 18 \cdot 6 - 60$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $6$ .

$f' (6) = 216 - 108 - 60$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $108$ von $216$ .

$f' (6) = 108 - 60$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $60$ von $108$ .

$f' (6) = 48$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$48$

Schritt 7.3

Bei $x = 6$ ist die Ableitung $48$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(5, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(5, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 2), (5, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 2, 5)$

Schritt 9