Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} + 18 x^{2} - 45 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + 18 x^{2} - 45 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{2}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 45$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 45 x$ nach $x$ gleich $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 36 x - 45 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 36 x - 45 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 45$ mit $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 36 x - 45$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $9 x^{2} + 36 x - 45$ .

$9 x^{2} + 36 x - 45$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $9 x^{2} + 36 x - 45 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$9 x^{2} + 36 x - 45 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2} + 36 x - 45$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$9 (x^{2}) + 36 x - 45 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $36 x$ heraus.

$9 (x^{2}) + 9 (4 x) - 45 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 45$ heraus.

$9 x^{2} + 9 (4 x) + 9 \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2} + 9 (4 x)$ heraus.

$9 (x^{2} + 4 x) + 9 \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (x^{2} + 4 x) + 9 \cdot - 5$ heraus.

$9 (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$9 ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$9 (x - 1) (x + 5) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $9 (x - 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 5$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1, - 5$ .

$1, - 5$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = 9 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6) - 45$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 6) = 9 \cdot 36 + 36 (- 6) - 45$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $36$ .

$f' (- 6) = 324 + 36 (- 6) - 45$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $- 6$ .

$f' (- 6) = 324 - 216 - 45$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $216$ von $324$ .

$f' (- 6) = 108 - 45$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $45$ von $108$ .

$f' (- 6) = 63$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $63$ .

$63$

Schritt 5.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $63$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 5)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 9 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2) - 45$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = 9 \cdot 4 + 36 (- 2) - 45$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 36 + 36 (- 2) - 45$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 36 - 72 - 45$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $72$ von $36$ .

$f' (- 2) = - 36 - 45$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $45$ von $- 36$ .

$f' (- 2) = - 81$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 81$ .

$- 81$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- 81$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 5, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 5, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 9 {(2)}^{2} + 36 (2) - 45$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 9 \cdot 4 + 36 (2) - 45$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$f' (2) = 36 + 36 (2) - 45$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $2$ .

$f' (2) = 36 + 72 - 45$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $36$ und $72$ .

$f' (2) = 108 - 45$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $45$ von $108$ .

$f' (2) = 63$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $63$ .

$63$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $63$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 5), (1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 5, 1)$

Schritt 9