Analysis Beispiele

$f (x) = 5 + 4 x^{2} - x^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 4 x^{2} - x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Addiere $0$ und $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 x^{3} + 8 x$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 x^{3} + 8 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3} + 8 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $8 x$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 2)$ heraus.

$- 4 x (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 x (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = - 4 {(- 2.4142135)}^{3} + 8 (- 2.4142135)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.4142135$ mit $3$ .

$f' (- 2.4142135) = - 4 \cdot - 14.07106672 + 8 (- 2.4142135)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 14.07106672$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 + 8 (- 2.4142135)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = 56.28426688 - 19.313708$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $19.313708$ von $56.28426688$ .

$f' (- 2.4142135) = 36.97055888$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $36.97055888$ .

$36.97055888$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2.4142135$ ist die Ableitung $36.97055888$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \sqrt{2})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{2})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.4142135, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.70710675$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4 {(- 0.70710675)}^{3} + 8 (- 0.70710675)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.70710675$ mit $3$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4 \cdot - 0.35355334 + 8 (- 0.70710675)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 0.35355334$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 + 8 (- 0.70710675)$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.70710675$ .

$f' (- 0.70710675) = 1.41421337 - 5.656854$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $5.656854$ von $1.41421337$ .

$f' (- 0.70710675) = - 4.24264062$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.24264062$ .

$- 4.24264062$

Schritt 6.3

Bei $x = - 0.70710675$ ist die Ableitung $- 4.24264062$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1.4142135, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \sqrt{2}, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.70710675$ .

$f' (0.70710675) = - 4 {(0.70710675)}^{3} + 8 (0.70710675)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.70710675$ mit $3$ .

$f' (0.70710675) = - 4 \cdot 0.35355334 + 8 (0.70710675)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0.35355334$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 8 (0.70710675)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $0.70710675$ .

$f' (0.70710675) = - 1.41421337 + 5.656854$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 1.41421337$ und $5.656854$ .

$f' (0.70710675) = 4.24264062$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.24264062$ .

$4.24264062$

Schritt 7.3

Bei $x = 0.70710675$ ist die Ableitung $4.24264062$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \sqrt{2})$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \sqrt{2})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = - 4 {(2.4142135)}^{3} + 8 (2.4142135)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.4142135$ mit $3$ .

$f' (2.4142135) = - 4 \cdot 14.07106672 + 8 (2.4142135)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $14.07106672$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 8 (2.4142135)$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = - 56.28426688 + 19.313708$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 56.28426688$ und $19.313708$ .

$f' (2.4142135) = - 36.97055888$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 36.97055888$ .

$- 36.97055888$

Schritt 8.3

Bei $x = 2.4142135$ ist die Ableitung $- 36.97055888$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\sqrt{2}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\sqrt{2}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - \sqrt{2}), (0, \sqrt{2})$

Abfallend im Intervall: $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, \infty)$

Schritt 10