Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 45 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 45$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 45 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (150 x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 (2 x) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 45$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + \frac{d}{d x} (150 x)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [150 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $150$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $150 x$ nach $x$ gleich $150 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $150$ mit $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 90 x + 150$ .

$12 x^{2} - 90 x + 150$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 90 x + 150 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 90 x + 150 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2} - 90 x + 150$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$6 (2 x^{2}) - 90 x + 150 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 90 x$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x) + 150 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $150$ heraus.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x) + 6 (25) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x)$ heraus.

$6 (2 x^{2} - 15 x) + 6 (25) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x^{2} - 15 x) + 6 (25)$ heraus.

$6 (2 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ und deren Summe gleich $b = - 15$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 15$ aus $- 15 x$ heraus.

$6 (2 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 15$ um als $- 5$ plus $- 10$

$6 (2 x^{2} + (- 5 - 10) x + 25) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 x^{2} - 5 x - 10 x + 25) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 ((2 x^{2} - 5 x) - 10 x + 25) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 (x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 5$ .

$6 ((2 x - 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (2 x - 5) (x - 5) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (2 x - 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{5}{2}, 5$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{5}{2}, 5$ .

$\frac{5}{2}, 5$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{5}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.5$ .

$f' (1.5) = 12 {(1.5)}^{2} - 90 \cdot 1.5 + 150$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $1.5$ mit $2$ .

$f' (1.5) = 12 \cdot 2.25 - 90 \cdot 1.5 + 150$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $2.25$ .

$f' (1.5) = 27 - 90 \cdot 1.5 + 150$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 90$ mit $1.5$ .

$f' (1.5) = 27 - 135 + 150$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $135$ von $27$ .

$f' (1.5) = - 108 + 150$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 108$ und $150$ .

$f' (1.5) = 42$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $42$ .

$42$

Schritt 5.3

Bei $x = 1.5$ ist die Ableitung $42$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{5}{2})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \frac{5}{2})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2.5, 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.75$ .

$f' (3.75) = 12 {(3.75)}^{2} - 90 \cdot 3.75 + 150$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $3.75$ mit $2$ .

$f' (3.75) = 12 \cdot 14.0625 - 90 \cdot 3.75 + 150$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $14.0625$ .

$f' (3.75) = 168.75 - 90 \cdot 3.75 + 150$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 90$ mit $3.75$ .

$f' (3.75) = 168.75 - 337.5 + 150$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $337.5$ von $168.75$ .

$f' (3.75) = - 168.75 + 150$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 168.75$ und $150$ .

$f' (3.75) = - 18.75$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 18.75$ .

$- 18.75$

Schritt 6.3

Bei $x = 3.75$ ist die Ableitung $- 18.75$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2.5, 5)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{5}{2}, 5)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = 12 {(6)}^{2} - 90 \cdot 6 + 150$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (6) = 12 \cdot 36 - 90 \cdot 6 + 150$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $36$ .

$f' (6) = 432 - 90 \cdot 6 + 150$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 90$ mit $6$ .

$f' (6) = 432 - 540 + 150$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $540$ von $432$ .

$f' (6) = - 108 + 150$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 108$ und $150$ .

$f' (6) = 42$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $42$ .

$42$

Schritt 7.3

Bei $x = 6$ ist die Ableitung $42$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(5, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(5, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, \frac{5}{2}), (5, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(\frac{5}{2}, 5)$

Schritt 9