Analysis Beispiele

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $- 20 x^{3} - 8 x$ und $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 20 x^{3} - 8 x$ .

$- 20 x^{3} - 8 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 20 x^{3} - 8 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 20 x^{3}$ heraus.

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ heraus.

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $5 x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $5 x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $5 x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} = - 2$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Schritt 2.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

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Schritt 2.5.2.4.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Schritt 2.5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Schritt 2.5.2.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{5}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 2.5.2.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.5.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.5.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 2.5.2.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.2.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.5.2.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.2.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.2.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.2.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 2.5.2.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.5.2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Schritt 2.5.2.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 2.5.2.4.7

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Schritt 2.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Schritt 2.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Schritt 2.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 + 8$

Schritt 5.2.2

Addiere $20$ und $8$ .

$f' (- 1) = 28$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $28$ .

$28$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $28$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $8$ von $- 20$ .

$f' (1) = - 28$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 28$ .

$- 28$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 28$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall: $(0, \infty)$

Schritt 8