Analysis Beispiele

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 x^{2}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{54}{x}$ nach $x$ gleich $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $54$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.5.2.1

Kombiniere $- 54$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.1.5.2.3

Addiere $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ und $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$128 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$128 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$128 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$128 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{54}{x^{2}}$ in den Zähler.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$128 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$128 x^{3} - 54 = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Addiere $54$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$128 x^{3} = 54$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $54$ von beiden Seiten der Gleichung.

$128 x^{3} - 54 = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $128 x^{3} - 54$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $128 x^{3}$ heraus.

$2 (64 x^{3}) - 54 = 0$

Schritt 2.4.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 54$ heraus.

$2 (64 x^{3}) + 2 (- 27) = 0$

Schritt 2.4.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (64 x^{3}) + 2 (- 27)$ heraus.

$2 (64 x^{3} - 27) = 0$

Schritt 2.4.3.2

Schreibe $64 x^{3}$ als ${(4 x)}^{3}$ um.

$2 ({(4 x)}^{3} - 27) = 0$

Schritt 2.4.3.3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$2 ({(4 x)}^{3} - 3^{3}) = 0$

Schritt 2.4.3.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4 x$ und $b = 3$ .

$2 ((4 x - 3) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.4.3.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.4.3.5.1.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$2 ((4 x - 3) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.4.3.5.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.4.3.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 3^{2})) = 0$

Schritt 2.4.3.5.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9)) = 0$

Schritt 2.4.3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$

Schritt 2.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Schritt 2.4.5

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.5.1

Setze $4 x - 3$ gleich $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Schritt 2.4.5.2

Löse $4 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 3$

Schritt 2.4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 2.4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 2.4.6

Setze $16 x^{2} + 12 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.6.1

Setze $16 x^{2} + 12 x + 9$ gleich $0$ .

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Schritt 2.4.6.2

Löse $16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.6.2.2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 12$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.2.3.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Schritt 2.4.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.3

Subtrahiere $576$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.4

Schreibe $- 432$ als $- 1 (432)$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (432)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.7

Schreibe $432$ als $12^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $432$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.7.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.1.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 2.4.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.2.4.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Schritt 2.4.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.3

Subtrahiere $576$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.4

Schreibe $- 432$ als $- 1 (432)$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (432)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.7

Schreibe $432$ als $12^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $432$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.7.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.1.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 2.4.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.6.2.4.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.6.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $3 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 2.4.6.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 2.4.6.2.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.2.5.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Schritt 2.4.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.3

Subtrahiere $576$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.4

Schreibe $- 432$ als $- 1 (432)$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (432)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.7

Schreibe $432$ als $12^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $432$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.7.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.1.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.4.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Schritt 2.4.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.6.2.5.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.6.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 2.4.6.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 2.4.6.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{54}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 128 (- 1) - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $128$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{1}$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $54$ durch $1$ .

$f' (- 1) = - 128 - 1 \cdot 54$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $54$ .

$f' (- 1) = - 128 - 54$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $54$ von $- 128$ .

$f' (- 1) = - 182$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 182$ .

$- 182$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 182$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{3}{4})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.375$ .

$f' (0.375) = 128 (0.375) - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $128$ mit $0.375$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $0.375$ mit $2$ .

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{0.140625}$

Schritt 7.2.1.3

Dividiere $54$ durch $0.140625$ .

$f' (0.375) = 48 - 1 \cdot 384$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $384$ .

$f' (0.375) = 48 - 384$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $384$ von $48$ .

$f' (0.375) = - 336$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 336$ .

$- 336$

Schritt 7.3

Bei $x = 0.375$ ist die Ableitung $- 336$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \frac{3}{4})$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \frac{3}{4})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{3}{4}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.75$ .

$f' (1.75) = 128 (1.75) - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $128$ mit $1.75$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Potenziere $1.75$ mit $2$ .

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{3.0625}$

Schritt 8.2.1.3

Dividiere $54$ durch $3.0625$ .

$f' (1.75) = 224 - 1 \cdot 17.63265306$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $17.63265306$ .

$f' (1.75) = 224 - 17.63265306$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $17.63265306$ von $224$ .

$f' (1.75) = 206.36734693$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $206.36734693$ .

$206.36734693$

Schritt 8.3

Bei $x = 1.75$ ist die Ableitung $206.36734693$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{3}{4}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{3}{4}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{3}{4}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$

Schritt 10