Analysis Beispiele

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(2 x - 3)}^{2}$ als $(2 x - 3) (2 x - 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(2 x - 3) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 1.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 1.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 1.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

Schritt 1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 12 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.5

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.7

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.9

Addiere $8 x - 12$ und $0$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

Schritt 1.1.5.11

Mutltipliziere $4 x^{2} - 12 x + 9$ mit $1$ .

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1.1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1.1.6.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1.1.6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1.1.6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1.1.6.2.5

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1.1.6.2.6

Addiere $8 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

Schritt 1.1.6.2.7

Subtrahiere $12 x$ von $- 12 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2} - 24 x + 9$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 24 x$ heraus.

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ heraus.

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ heraus.

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 8$ um als $- 2$ plus $- 6$

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.5$ mit $2$ .

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $3$ und $12$ .

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $15$ und $9$ .

$f' (- 0.5) = 24$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 5.3

Bei $x = - 0.5$ ist die Ableitung $24$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \frac{1}{2})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.5, \frac{3}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $24$ von $12$ .

$f' (1) = - 12 + 9$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 12$ und $9$ .

$f' (1) = - 3$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0.5, \frac{3}{2})$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{3}{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.5$ .

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2.5$ mit $2$ .

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $6.25$ .

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $2.5$ .

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $60$ von $75$ .

$f' (2.5) = 15 + 9$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $15$ und $9$ .

$f' (2.5) = 24$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 7.3

Bei $x = 2.5$ ist die Ableitung $24$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{3}{2}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{3}{2}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Schritt 9