Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} + 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $24 x^{2} + 7$ .

$24 x^{2} + 7$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $24 x^{2} + 7 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$24 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 x^{2} = - 7$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $24 x^{2} = - 7$ durch $24$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $24 x^{2} = - 7$ durch $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $- \frac{7}{24}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ um.

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Schritt 2.5.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $7$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $24$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

Schritt 2.5.1.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

Schritt 2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

Schritt 2.5.3

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{6}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ um.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Schritt 2.5.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 2.5.5.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Schritt 2.5.5.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Schritt 2.5.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 2.5.5.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.5.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Schritt 2.5.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

Schritt 2.5.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

Schritt 2.5.7

Multipliziere $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

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Schritt 2.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{i}{2}$ mit $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

An keinem Punkt ist die Ableitung $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ gleich $0$ oder nicht definiert. Das Intervall, für das zu prüfen ist, ob $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ ansteigt oder abfällt, ist $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die Ableitung $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ ein, um zu prüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist. Wenn das Ergebnis negativ ist, fällt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ab. Ist das Ergebnis positiv, steigt der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ an.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$f' (1) = 24 + 7$

Schritt 5.2.2

Addiere $24$ und $7$ .

$f' (1) = 31$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $31$ .

$31$

Schritt 6

Das Ergebnis des Einsetzens von $1$ in $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ ist $31$ , was positiv ist, folglich ist der Graph im Intervall $(- \infty, \infty)$ ansteigend.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $24 x^{2} + 7 > 0$

Schritt 7

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \infty)$ bedeutet, dass die Funktion immer ansteigt.

Immer ansteigend

Schritt 8