Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 - x^{2}}$ als ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.3

Bringe ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.10

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14.3

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.18

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.23

Mutltipliziere ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.24

Um ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26

Multipliziere ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.26.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.27

Vereinfache ${(8 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.28

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.29

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 2 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = - 8$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 8$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 8$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 2}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 2$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $2, - 2$ .

$2, - 2$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 4.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{{(- x^{2} + 8)}^{1}}}$

Schritt 4.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$

Schritt 4.2

Setze den Nenner in $\frac{- 2 x^{2} + 8}{\sqrt{- x^{2} + 8}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{- x^{2} + 8} = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- x^{2} + 8}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x^{2} + 8}$ als ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x^{2} + 8)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$- x^{2} + 8 = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Schritt 4.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 8$

Schritt 4.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.3.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Schritt 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Schritt 4.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{8}$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.3.3.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Schritt 4.3.3.4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x^{2} + 8}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x^{2} + 8 < 0$

Schritt 4.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 8$

Schritt 4.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 8$

Schritt 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{8}$

Schritt 4.5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{8}$

Schritt 4.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{8}$ .

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Schritt 4.5.4.2.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.5.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$| x | > \sqrt{4 (2)}$

Schritt 4.5.4.2.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.5.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 2 | \sqrt{2}$

Schritt 4.5.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | > 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.5.5

Schreibe $| x | > 2 \sqrt{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x > 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > 2 \sqrt{2}$ und $x \geq 0$ .

$x > 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > 2 \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.7.1

Teile jeden Term in $- x > 2 \sqrt{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 4.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 4.5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 4.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.7.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Schritt 4.5.7.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ als $- (2 \sqrt{2})$ um.

$x < - (2 \sqrt{2})$

Schritt 4.5.7.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x < - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 2 \sqrt{2}$ oder $x > 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

$x \leq - 2 \sqrt{2}, x \geq 2 \sqrt{2}$

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2}, \infty)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.828427$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 {(- 3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 3.828427$ mit $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $- 29.31370658$ und $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {(- 3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Potenziere $- 3.828427$ mit $2$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $14.65685329$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 14.65685329$ und $8$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe $- 6.65685329$ als ${(2.58008784 i)}^{2}$ um.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 6.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 6.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Schritt 6.2.2.6

Vereinfache.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$ mit der Konjugierten von $2.58008784 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 6.2.4

Multipliziere.

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Schritt 6.2.4.1

Kombinieren.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.4.2.1

Füge Klammern hinzu.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Schritt 6.2.4.2.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Schritt 6.2.4.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Schritt 6.2.4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Schritt 6.2.4.2.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $2.58008784$ mit $- 1$ .

$f' (- 3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Schritt 6.2.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f' (- 3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Schritt 6.2.7

Faktorisiere $21.31370658$ aus $21.31370658 i$ heraus.

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Schritt 6.2.8

Faktorisiere $2.58008784$ aus $2.58008784$ heraus.

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Schritt 6.2.9

Separiere Brüche.

$f' (- 3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Schritt 6.2.10

Dividiere $21.31370658$ durch $2.58008784$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Schritt 6.2.11

Dividiere $i$ durch $1$ .

$f' (- 3.828427) = 8.26084531 i$

Schritt 6.2.12

Die endgültige Lösung ist $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Schritt 6.3

Bei $x = - 3.828427$ ist die Ableitung $8.26084531 i$ . Da dies eine imaginäre Zahl beinhaltet, existiert die Funktion nicht in $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ .

Die Funktion ist in $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ nicht real, da $f' (x)$ imaginär ist

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2.828427, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.4142135$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 {(- 2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 2.4142135$ mit $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.1.3

Addiere $- 11.65685364$ und $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {(- 2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1.1

Potenziere $- 2.4142135$ mit $2$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5.82842682$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 5.82842682$ und $8$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.3

Schreibe $2.17157317$ als ${1.47362586}^{2}$ um.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 7.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 7.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Schritt 7.2.2.6

Berechne den Exponenten.

$f' (- 2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Schritt 7.2.3

Dividiere $- 3.65685364$ durch $1.47362586$ .

$f' (- 2.4142135) = - 2.48153465$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Schritt 7.3

Bei $x = - 2.4142135$ ist die Ableitung $- 2.48153465$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2.828427, - 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2 \sqrt{2}, - 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 8}{{(- {(0)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.1.3

Addiere $0$ und $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(- 0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{8}{{(0 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$f' (0) = \frac{8}{8^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.3

Bringe $8^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 8.2.4

Multipliziere $8$ mit $8^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $8^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.2.4.1.1

Potenziere $8$ mit $1$ .

$f' (0) = 8 \cdot 8^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 8.2.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (0) = 8^{1 - \frac{1}{2}}$

Schritt 8.2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (0) = 8^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Schritt 8.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (0) = 8^{\frac{2 - 1}{2}}$

Schritt 8.2.4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f' (0) = 8^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $8^{\frac{1}{2}}$ .

$8^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $8^{\frac{1}{2}}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 2, 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 2, 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, 2 \sqrt{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.4142135$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 {(2.4142135)}^{2} + 8}{{(- {(2.4142135)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $2.4142135$ mit $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 2 \cdot 5.82842682 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 11.65685364 + 8}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.1.3

Addiere $- 11.65685364$ und $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- {2.4142135}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.1.1

Potenziere $2.4142135$ mit $2$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 1 \cdot 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5.82842682$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{(- 5.82842682 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $- 5.82842682$ und $8$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{2.17157317}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2.3

Schreibe $2.17157317$ als ${1.47362586}^{2}$ um.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{({1.47362586}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 9.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{{1.47362586}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 9.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Schritt 9.2.2.6

Berechne den Exponenten.

$f' (2.4142135) = \frac{- 3.65685364}{1.47362586}$

Schritt 9.2.3

Dividiere $- 3.65685364$ durch $1.47362586$ .

$f' (2.4142135) = - 2.48153465$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.48153465$ .

$- 2.48153465$

Schritt 9.3

Bei $x = 2.4142135$ ist die Ableitung $- 2.48153465$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, 2 \sqrt{2})$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, 2 \sqrt{2})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2 \sqrt{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.828427$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 2 {(3.828427)}^{2} + 8}{{(- {(3.828427)}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1.1

Potenziere $3.828427$ mit $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 2 \cdot 14.65685329 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 29.31370658 + 8}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.1.3

Addiere $- 29.31370658$ und $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- {3.828427}^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

Potenziere $3.828427$ mit $2$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 1 \cdot 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $14.65685329$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 14.65685329 + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.2.2

Addiere $- 14.65685329$ und $8$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(- 6.65685329)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.2.3

Schreibe $- 6.65685329$ als ${(2.58008784 i)}^{2}$ um.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{({(2.58008784 i)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 10.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{{(2.58008784 i)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 10.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Schritt 10.2.2.6

Vereinfache.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$

Schritt 10.2.3

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{- 21.31370658}{2.58008784 i}$ mit der Konjugierten von $2.58008784 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658}{2.58008784 i} \cdot \frac{i}{i}$

Schritt 10.2.4

Multipliziere.

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Schritt 10.2.4.1

Kombinieren.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i i}$

Schritt 10.2.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.4.2.1

Füge Klammern hinzu.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Schritt 10.2.4.2.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Schritt 10.2.4.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 (i i)}$

Schritt 10.2.4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{1 + 1}}$

Schritt 10.2.4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 i^{2}}$

Schritt 10.2.4.2.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{2.58008784 \cdot - 1}$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $2.58008784$ mit $- 1$ .

$f' (3.828427) = \frac{- 21.31370658 i}{- 2.58008784}$

Schritt 10.2.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f' (3.828427) = \frac{(21.31370658) i}{2.58008784}$

Schritt 10.2.7

Faktorisiere $21.31370658$ aus $21.31370658 i$ heraus.

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784}$

Schritt 10.2.8

Faktorisiere $2.58008784$ aus $2.58008784$ heraus.

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658 (i)}{2.58008784 (1)}$

Schritt 10.2.9

Separiere Brüche.

$f' (3.828427) = \frac{21.31370658}{2.58008784} \cdot \frac{i}{1}$

Schritt 10.2.10

Dividiere $21.31370658$ durch $2.58008784$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 (\frac{i}{1})$

Schritt 10.2.11

Dividiere $i$ durch $1$ .

$f' (3.828427) = 8.26084531 i$

Schritt 10.2.12

Die endgültige Lösung ist $8.26084531 i$ .

$8.26084531 i$

Schritt 10.3

Bei $x = 3.828427$ ist die Ableitung $8.26084531 i$ . Da dies eine imaginäre Zahl beinhaltet, existiert die Funktion nicht in $(2 \sqrt{2}, \infty)$ .

Die Funktion ist in $(2 \sqrt{2}, \infty)$ nicht real, da $f' (x)$ imaginär ist

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 2, 2)$

Abfallend im Intervall: $(- 2 \sqrt{2}, - 2), (2, 2 \sqrt{2})$

Schritt 12