Analysis Beispiele

$f (x) = 19 x + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $19 x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [19 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (19 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [19 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $19$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $19 x$ nach $x$ gleich $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 19 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $19$ mit $1$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 19 - x^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 19 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 19$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}} + 19$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $19$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - 19 x^{2}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 19 x^{2} = - 1$ um.

$- 19 x^{2} = - 1$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 19 x^{2} = - 1$ durch $- 19$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 19 x^{2} = - 1$ durch $- 19$ .

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 19$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 19}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{1}{19}$

Schritt 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{19}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{19}}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{19}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

Schritt 2.5.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

Schritt 2.5.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Schritt 2.5.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{19}}$ mit $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Schritt 2.5.4.4.2

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

Schritt 2.5.4.4.3

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

Schritt 2.5.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 2.5.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{1}}$

Schritt 2.5.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19}$

Schritt 2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Schritt 2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Schritt 2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$ .

$\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.22941573$ .

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{{(- 1.22941573)}^{2}} + 19$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.22941573$ mit $2$ .

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $1$ durch $1.51146303$ .

$f' (- 1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.66161062$ .

$f' (- 1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 0.66161062$ und $19$ .

$f' (- 1.22941573) = 18.33838937$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $18.33838937$ .

$18.33838937$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1.22941573$ ist die Ableitung $18.33838937$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.22941573, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.11470786$ .

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{{(- 0.11470786)}^{2}} + 19$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 0.11470786$ mit $2$ .

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $1$ durch $0.01315789$ .

$f' (- 0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $76.00000256$ .

$f' (- 0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 76.00000256$ und $19$ .

$f' (- 0.11470786) = - 57.00000256$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Schritt 7.3

Bei $x = - 0.11470786$ ist die Ableitung $- 57.00000256$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 0.22941573, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.11470786$ .

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{{(0.11470786)}^{2}} + 19$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.11470786$ mit $2$ .

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $1$ durch $0.01315789$ .

$f' (0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $76.00000256$ .

$f' (0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 76.00000256$ und $19$ .

$f' (0.11470786) = - 57.00000256$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Schritt 8.3

Bei $x = 0.11470786$ ist die Ableitung $- 57.00000256$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.22941573$ .

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{{(1.22941573)}^{2}} + 19$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $1.22941573$ mit $2$ .

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $1$ durch $1.51146303$ .

$f' (1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.66161062$ .

$f' (1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 0.66161062$ und $19$ .

$f' (1.22941573) = 18.33838937$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $18.33838937$ .

$18.33838937$

Schritt 9.3

Bei $x = 1.22941573$ ist die Ableitung $18.33838937$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}), (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0), (0, \frac{\sqrt{19}}{19})$

Schritt 11