Analysis Beispiele

$f (x) = 2.9 + 3.8 x - 0.9 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2.9 + 3.8 x - 0.9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2.9] + \frac{d}{d x} [3.8 x] + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2.9] + \frac{d}{d x} [3.8 x] + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $2.9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2.9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3.8 x] + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3.8 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3.8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3.8 x$ nach $x$ gleich $3.8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3.8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3.8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3.8$ mit $1$ .

$0 + 3.8 + \frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 0.9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 0.9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 3.8 - 0.9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 3.8 - 0.9 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.9$ .

$0 + 3.8 - 1.8 x$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Addiere $0$ und $3.8$ .

$3.8 - 1.8 x$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 1.8 x + 3.8$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 1.8 x + 3.8$ .

$- 1.8 x + 3.8$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 1.8 x + 3.8 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 1.8 x + 3.8 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $3.8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 1.8 x = - 3.8$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 1.8 x = - 3.8$ durch $- 1.8$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1.8 x = - 3.8$ durch $- 1.8$ .

$\frac{- 1.8 x}{- 1.8} = \frac{- 3.8}{- 1.8}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1.8$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1.8 x}{- 1.8} = \frac{- 3.8}{- 1.8}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3.8}{- 1.8}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 3.8$ durch $- 1.8$ .

$x = 2.\overline{1}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $2.\overline{1}$ .

$2.\overline{1}$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - 1.8 x + 3.8$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 2.9 + 3.8 x - 0.9 x^{2}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 2.\overline{1}) \cup (2.\overline{1}, \infty)$ .

$(- \infty, 2.\overline{1}) \cup (2.\overline{1}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2.\overline{1})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.\overline{1}$ .

$f' (1.\overline{1}) = - 1.8 \cdot 1.\overline{1} + 3.8$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1.8$ mit $1.\overline{1}$ .

$f' (1.\overline{1}) = - 2 + 3.8$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 2$ und $3.8$ .

$f' (1.\overline{1}) = 1.8$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.8$ .

$1.8$

Schritt 5.3

Bei $x = 1.\overline{1}$ ist die Ableitung $1.8$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 2.\overline{1})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 2.\overline{1})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2.\overline{1}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.\overline{1}$ .

$f' (3.\overline{1}) = - 1.8 \cdot 3.\overline{1} + 3.8$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 1.8$ mit $3.\overline{1}$ .

$f' (3.\overline{1}) = - 5.6 + 3.8$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 5.6$ und $3.8$ .

$f' (3.\overline{1}) = - 1.8$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.8$ .

$- 1.8$

Schritt 6.3

Bei $x = 3.\overline{1}$ ist die Ableitung $- 1.8$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2.\overline{1}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(2.\overline{1}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 2.\overline{1})$

Abfallend im Intervall: $(2.\overline{1}, \infty)$

Schritt 8