Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{4} + 6 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{4} + 6 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{4}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{3}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $8 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$8 x^{3} + 18 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $8 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$8 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $8 x^{3} + 18 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$2 x^{2} (4 x) + 18 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $18 x^{2}$ heraus.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (9) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (9)$ heraus.

$2 x^{2} (4 x + 9) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x + 9 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $4 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $4 x + 9$ gleich $0$ .

$4 x + 9 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $4 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 9$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 9$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 9$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9}{4}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9}{4}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x^{2} (4 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{9}{4}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - \frac{9}{4}$ .

$0, - \frac{9}{4}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{9}{4}) \cup (- \frac{9}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{9}{4})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.25$ .

$f' (- 3.25) = 8 {(- 3.25)}^{3} + 18 {(- 3.25)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3.25$ mit $3$ .

$f' (- 3.25) = 8 \cdot - 34.328125 + 18 {(- 3.25)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 34.328125$ .

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 18 {(- 3.25)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 3.25$ mit $2$ .

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 18 \cdot 10.5625$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $10.5625$ .

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 190.125$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 274.625$ und $190.125$ .

$f' (- 3.25) = - 84.5$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 84.5$ .

$- 84.5$

Schritt 5.3

Bei $x = - 3.25$ ist die Ableitung $- 84.5$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{9}{4})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{9}{4})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2.25, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.125$ .

$f' (- 1.125) = 8 {(- 1.125)}^{3} + 18 {(- 1.125)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.125$ mit $3$ .

$f' (- 1.125) = 8 \cdot - 1.42382812 + 18 {(- 1.125)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1.42382812$ .

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 18 {(- 1.125)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 1.125$ mit $2$ .

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 18 \cdot 1.265625$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $1.265625$ .

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 22.78125$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 11.390625$ und $22.78125$ .

$f' (- 1.125) = 11.390625$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $11.390625$ .

$11.390625$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1.125$ ist die Ableitung $11.390625$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 2.25, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \frac{9}{4}, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 8 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f' (1) = 8 + 18 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 8 + 18 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$f' (1) = 8 + 18$

Schritt 7.2.2

Addiere $8$ und $18$ .

$f' (1) = 26$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $26$ .

$26$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $26$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \frac{9}{4}, 0), (0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - \frac{9}{4})$

Schritt 9