Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $6 x^{2} - 8 x + 2$ und $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} - 8 x + 2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} - 8 x + 2 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2} - 8 x + 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$2 (3 x^{2}) - 8 x + 2 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (1) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ heraus.

$2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (1) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (1)$ heraus.

$2 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$2 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 4$ um als $- 1$ plus $- 3$

$2 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$2 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{1}{3}, 1$ .

$\frac{1}{3}, 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{1}{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.\overline{6}$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 6 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{6} + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.\overline{6}$ mit $2$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 6 \cdot 0.44444443 - 8 \cdot - 0.\overline{6} + 2$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0.44444443$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 2.66666661 - 8 \cdot - 0.\overline{6} + 2$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 0.\overline{6}$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 2.66666661 + 5.33333328 + 2$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $2.66666661$ und $5.33333328$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 7.99999989 + 2$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $7.99999989$ und $2$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 9.99999989$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $9.99999989$ .

$9.99999989$

Schritt 5.3

Bei $x = - 0.\overline{6}$ ist die Ableitung $9.99999989$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{1}{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \frac{1}{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.\overline{3}, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.\overline{6}$ .

$f' (0.\overline{6}) = 6 {(0.\overline{6})}^{2} - 8 \cdot 0.\overline{6} + 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.\overline{6}$ mit $2$ .

$f' (0.\overline{6}) = 6 \cdot 0.44444444 - 8 \cdot 0.\overline{6} + 2$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0.44444444$ .

$f' (0.\overline{6}) = 2.66666669 - 8 \cdot 0.\overline{6} + 2$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0.\overline{6}$ .

$f' (0.\overline{6}) = 2.66666669 - 5.\overline{3} + 2$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $5.\overline{3}$ von $2.66666669$ .

$f' (0.\overline{6}) = - 2.\overline{6} + 2$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 2.\overline{6}$ und $2$ .

$f' (0.\overline{6}) = - 0.\overline{6}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.\overline{6}$ .

$- 0.\overline{6}$

Schritt 6.3

Bei $x = 0.\overline{6}$ ist die Ableitung $- 0.\overline{6}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0.\overline{3}, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{1}{3}, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 2$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 6 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 2$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f' (2) = 24 - 8 \cdot 2 + 2$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f' (2) = 24 - 16 + 2$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $16$ von $24$ .

$f' (2) = 8 + 2$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $8$ und $2$ .

$f' (2) = 10$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$10$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $10$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, \frac{1}{3}), (1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(\frac{1}{3}, 1)$

Schritt 9