Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 84$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 84$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [84]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$6 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48 x$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 12 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} - 12 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $1$ .

$6 x^{2} - 12 x - 48 + \frac{d}{d x} [84]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $84$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $84$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} - 12 x - 48 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $6 x^{2} - 12 x - 48$ und $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 x - 48$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} - 12 x - 48$ .

$6 x^{2} - 12 x - 48$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} - 12 x - 48 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} - 12 x - 48 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 12 x - 48$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{2}) - 12 x - 48 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 12 x$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (- 2 x) - 48 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 48$ heraus.

$6 x^{2} + 6 (- 2 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (- 2 x)$ heraus.

$6 (x^{2} - 2 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} - 2 x) + 6 \cdot - 8$ heraus.

$6 (x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 ((x - 4) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (x - 4) (x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (x - 4) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $4, - 2$ .

$4, - 2$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} - 12 \cdot - 3 - 48$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 - 12 \cdot - 3 - 48$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f' (- 3) = 54 - 12 \cdot - 3 - 48$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 + 36 - 48$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $54$ und $36$ .

$f' (- 3) = 90 - 48$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $48$ von $90$ .

$f' (- 3) = 42$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $42$ .

$42$

Schritt 5.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $42$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 6 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 - 48$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 6 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 48$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f' (1) = 6 - 12 \cdot 1 - 48$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (1) = 6 - 12 - 48$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $6$ .

$f' (1) = - 6 - 48$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $48$ von $- 6$ .

$f' (1) = - 54$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 54$ .

$- 54$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 54$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2, 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2, 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = 6 {(5)}^{2} - 12 \cdot 5 - 48$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (5) = 6 \cdot 25 - 12 \cdot 5 - 48$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $25$ .

$f' (5) = 150 - 12 \cdot 5 - 48$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$f' (5) = 150 - 60 - 48$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $60$ von $150$ .

$f' (5) = 90 - 48$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $48$ von $90$ .

$f' (5) = 42$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $42$ .

$42$

Schritt 7.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $42$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(4, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 2), (4, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 2, 4)$

Schritt 9