Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 18$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (18)$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $6 x^{2} - 6 x - 12$ und $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} - 6 x - 12$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} - 6 x - 12 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 6 x - 12$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{2}) - 6 x - 12 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (- x) - 12 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 12$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (- x) + 6 (- 2) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2}) + 6 (- x)$ heraus.

$6 (x^{2} - x) + 6 (- 2) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} - x) + 6 (- 2)$ heraus.

$6 (x^{2} - x - 2) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $2, - 1$ .

$2, - 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 12$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 - 12$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 24 - 6 \cdot - 2 - 12$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 + 12 - 12$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $24$ und $12$ .

$f' (- 2) = 36 - 12$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $36$ .

$f' (- 2) = 24$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $24$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) - 6 (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) - 6 (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) - 6 (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) - 6 (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 6 (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (- 3) (\frac{1}{2}) - 12$

Schritt 6.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (- 3 (\frac{1}{2})) - 12$

Schritt 6.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

Schritt 6.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

Schritt 6.2.2.4

Schreibe $- 12$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 12}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 12}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.5.1

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $24$ von $- 3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Schritt 6.3

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{27}{2}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 6 {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 12$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = 6 \cdot 9 - 6 \cdot 3 - 12$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f' (3) = 54 - 6 \cdot 3 - 12$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f' (3) = 54 - 18 - 12$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $18$ von $54$ .

$f' (3) = 36 - 12$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $36$ .

$f' (3) = 24$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 7.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $24$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 1), (2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 1, 2)$

Schritt 9