Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} - 4 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 4 \cdot - 2$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 8$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 32$ und $8$ .

$f' (- 2) = - 24$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 24$ .

$- 24$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- 24$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 (2)}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 2}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 6.2.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})$

Schritt 6.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))$

Schritt 6.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 2 \cdot - 1$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2$

Schritt 6.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 4}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 6.3

Bei $x = - \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $\frac{3}{2}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2}))$

Schritt 7.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2$

Schritt 7.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 4}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Schritt 7.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 7.3

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{3}{2}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f' (2) = 32 - 4 \cdot 2$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (2) = 32 - 8$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $8$ von $32$ .

$f' (2) = 24$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 8.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $24$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Schritt 10