Analysis Beispiele

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Teile das Integral bei $0$ und schreibe es als Summe von Grenzwerten.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

Schritt 2.3

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $e^{u}$ bei $1$ und $1 - t^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Schritt 9

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 9.1.2

Differenziere.

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Schritt 9.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 9.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 9.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 9.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 9.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 9.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 9.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 9.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 9.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 9.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Schritt 9.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Schritt 9.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 10.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

Schritt 13

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

Schritt 14

Kombiniere $e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

Schritt 15

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 15.1

Berechne $e^{u}$ bei $1 - t^{2}$ und $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

Schritt 15.2

Vereinfache.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Schritt 16

Berechne die Grenzwerte.

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Schritt 16.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 16.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Schritt 16.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Schritt 16.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $- \infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Schritt 16.1.4

Berechne den Grenzwert von $e$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $- \infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Schritt 16.2

Da der Exponent $1 - t^{2}$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{1 - t^{2}}$ $0$ an.

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Schritt 16.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 16.3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Schritt 16.3.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

Schritt 16.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

Schritt 16.4

Da der Exponent $1 - t^{2}$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{1 - t^{2}}$ $0$ an.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

Schritt 16.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 16.5.1

Berechne den Grenzwert von $e$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

Schritt 16.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.5.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $e$ .

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

Schritt 16.5.2.1.2

Kombiniere $e$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

Schritt 16.5.2.1.3

Subtrahiere $e$ von $0$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

Schritt 16.5.2.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} (- e)$ .

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Schritt 16.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Schritt 16.5.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

Schritt 16.5.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

Schritt 16.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- e + e}{2}$

Schritt 16.5.2.3

Addiere $- e$ und $e$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 16.5.2.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$