Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 12$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 18 x + 24$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 18 x + 24$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 18 x + 24 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 18 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 24 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8$ heraus.

$3 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 4) (x - 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 4) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $4, 2$ .

$4, 2$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1 + 24$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 18 \cdot 1 + 24$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (1) = 3 - 18 \cdot 1 + 24$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$f' (1) = 3 - 18 + 24$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $18$ von $3$ .

$f' (1) = - 15 + 24$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 15$ und $24$ .

$f' (1) = 9$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 5.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $9$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 24$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 24$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 18 \cdot 3 + 24$

Schritt 6.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 18 \cdot 3 + 24$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (3) = 27 - 18 \cdot 3 + 24$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$f' (3) = 27 - 54 + 24$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $54$ von $27$ .

$f' (3) = - 27 + 24$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 27$ und $24$ .

$f' (3) = - 3$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 6.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = 3 {(5)}^{2} - 18 \cdot 5 + 24$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (5) = 3 \cdot 25 - 18 \cdot 5 + 24$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$f' (5) = 75 - 18 \cdot 5 + 24$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $5$ .

$f' (5) = 75 - 90 + 24$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $90$ von $75$ .

$f' (5) = - 15 + 24$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 15$ und $24$ .

$f' (5) = 9$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 7.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $9$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(4, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 2), (4, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(2, 4)$

Schritt 9