Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 24$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 12 x - 24$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 12 x - 24 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 24 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8$ heraus.

$3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 4 x - 8$ durch $1$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $16$ und $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.3

Addiere $16$ und $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.3

Addiere $16$ und $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$ .

$2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}) \cup (2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3}) \cup (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.4641017$ .

$f' (- 2.4641017) = 3 {(- 2.4641017)}^{2} - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.4641017$ mit $2$ .

$f' (- 2.4641017) = 3 \cdot 6.07179718 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $6.07179718$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2.4641017$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 + 29.5692204 - 24$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $18.21539156$ und $29.5692204$ .

$f' (- 2.4641017) = 47.78461196 - 24$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $47.78461196$ .

$f' (- 2.4641017) = 23.78461196$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $23.78461196$ .

$23.78461196$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2.4641017$ ist die Ableitung $23.78461196$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.00000015$ .

$f' (2.00000015) = 3 {(2.00000015)}^{2} - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $2.00000015$ mit $2$ .

$f' (2.00000015) = 3 \cdot 4.0000006 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4.0000006$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $2.00000015$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 24.0000018 - 24$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $24.0000018$ von $12.0000018$ .

$f' (2.00000015) = - 12 - 24$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $- 12$ .

$f' (2.00000015) = - 36$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 36$ .

$- 36$

Schritt 6.3

Bei $x = 2.00000015$ ist die Ableitung $- 36$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ ab.

Abfallend im Intervall $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6.464102$ .

$f' (6.464102) = 3 {(6.464102)}^{2} - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $6.464102$ mit $2$ .

$f' (6.464102) = 3 \cdot 41.78461466 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $41.78461466$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $6.464102$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 77.569224 - 24$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $77.569224$ von $125.35384399$ .

$f' (6.464102) = 47.78461999 - 24$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $47.78461999$ .

$f' (6.464102) = 23.78461999$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $23.78461999$ .

$23.78461999$

Schritt 7.3

Bei $x = 6.464102$ ist die Ableitung $23.78461999$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}), (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$

Schritt 9