Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + 16 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 16 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{3}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 16 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 48 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} + 48 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3} + 48 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x^{2} (x) + 48 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $48 x^{2}$ heraus.

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (12) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (12)$ heraus.

$4 x^{2} (x + 12) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 12 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 12$ gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x^{2} (x + 12) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 12$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - 12$ .

$0, - 12$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 12)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 13$ .

$f' (- 13) = 4 {(- 13)}^{3} + 48 {(- 13)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 13$ mit $3$ .

$f' (- 13) = 4 \cdot - 2197 + 48 {(- 13)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2197$ .

$f' (- 13) = - 8788 + 48 {(- 13)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 13$ mit $2$ .

$f' (- 13) = - 8788 + 48 \cdot 169$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $48$ mit $169$ .

$f' (- 13) = - 8788 + 8112$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 8788$ und $8112$ .

$f' (- 13) = - 676$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 676$ .

$- 676$

Schritt 5.3

Bei $x = - 13$ ist die Ableitung $- 676$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 12)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 12)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 12, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 48 {(- 6)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 48 {(- 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 + 48 {(- 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 6) = - 864 + 48 \cdot 36$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $48$ mit $36$ .

$f' (- 6) = - 864 + 1728$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 864$ und $1728$ .

$f' (- 6) = 864$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $864$ .

$864$

Schritt 6.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $864$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 12, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 12, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 4 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (1) = 4 + 48 {(1)}^{2}$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 4 + 48 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$f' (1) = 4 + 48$

Schritt 7.2.2

Addiere $4$ und $48$ .

$f' (1) = 52$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $52$ .

$52$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $52$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 12, 0), (0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 12)$

Schritt 9