Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} + 3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.3.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.3.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.9

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 3$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{49}$ .

$- \frac{5}{49}$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- \frac{5}{49}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $16$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{1}{4}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $4$ und $1$ .

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $16$ und $3$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $19$ mit $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{361}$ .

$- \frac{5}{361}$

Schritt 7.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $- \frac{5}{361}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(3, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 1, 3)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Schritt 9