Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 1 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.10

Schreibe $- (x^{2} - 2 x - 1)$ als $- 1 (x^{2} - 2 x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.3.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$ .

$1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.41421357$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{{(- 1.41421357)}^{2} - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.41421357$ mit $2$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1.41421357$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 + 2.82842714 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $2.00000002$ und $2.82842714$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{4.82842716 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4

Subtrahiere $1$ von $4.82842716$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 1.41421357$ mit $2$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{(2.00000002 + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $2.00000002$ und $1$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{3.00000002}^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $3.00000002$ mit $2$ .

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{9.00000012}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $3.82842716$ durch $9.00000012$ .

$f' (- 1.41421357) = - 1 \cdot 0.42538078$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.42538078$ .

$f' (- 1.41421357) = - 0.42538078$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.42538078$ .

$- 0.42538078$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1.41421357$ ist die Ableitung $- 0.42538078$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.00000006$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{{(1.00000006)}^{2} - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({(1.00000006)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $1.00000006$ mit $2$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1.00000006$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2.00000013 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $2.00000013$ von $1.00000013$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 1 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.4

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $1.00000006$ mit $2$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{(1.00000013 + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $1.00000013$ und $1$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{2.00000013}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $2.00000013$ mit $2$ .

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{4.00000052}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $4.00000052$ .

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.49999993$ .

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.49999993$ .

$0.49999993$

Schritt 6.3

Bei $x = 1.00000006$ ist die Ableitung $0.49999993$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ an.

Ansteigend im Intervall $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.4142137$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{{(3.4142137)}^{2} - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({(3.4142137)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3.4142137$ mit $2$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3.4142137$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 6.8284274 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Subtrahiere $6.8284274$ von $11.65685518$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{4.82842778 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Subtrahiere $1$ von $4.82842778$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $3.4142137$ mit $2$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{(11.65685518 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $11.65685518$ und $1$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{12.65685518}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $12.65685518$ mit $2$ .

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{160.19598328}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $3.82842778$ durch $160.19598328$ .

$f' (3.4142137) = - 1 \cdot 0.0238984$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.0238984$ .

$f' (3.4142137) = - 0.0238984$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.0238984$ .

$- 0.0238984$

Schritt 7.3

Bei $x = 3.4142137$ ist die Ableitung $- 0.0238984$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 1 - \sqrt{2}), (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Schritt 9