Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 7}{x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 7$ und $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x + 7) - (x + 7) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7)) - (x + 7) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (7)) - (x + 7) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x + 7) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x + 7) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x + 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x + 7) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x + 7) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x + 7) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x + 7)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x - 1 \cdot 7}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - x - 1 \cdot 7$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 1 - 1 \cdot 7}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - 1 \cdot 7}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f' (x) = \frac{1 - 7}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{- 6}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{6}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{6}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{6}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{6}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{6}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 = 0$

Schritt 2.3

Da $6 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{6}{{(x + 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{6}{{(x + 1)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{x + 7}{x + 1}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{6}{{((- 2) + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{6}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{6}{1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Dividiere $6$ durch $1$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot 6$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (- 2) = - 6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- 6$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - \frac{6}{{((0) + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = - \frac{6}{1^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (0) = - \frac{6}{1}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1

Dividiere $6$ durch $1$ .

$f' (0) = - 1 \cdot 6$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (0) = - 6$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 7.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 6$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 1, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 1, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (- 1, \infty)$

Schritt 9