Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x - 8}{2 x + 3}$ , $x = 2$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x - 8$ und $g (x) = 2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{(2 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $2 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (2 x + 3) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + 0)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8$ .

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Schritt 3.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $4 (2 x)$ und $- 2 (4 x)$ neu an.

$\frac{2 \cdot 4 x + 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 x - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $2 \cdot 4 x$ von $2 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $4 \cdot 3$ und $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$\frac{12 + 16}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $12$ und $16$ .

$\frac{28}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{28}{{(2 (2) + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{28}{{(4 + 3)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{28}{49}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $49$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $7$ aus $28$ heraus.

$\frac{7 (4)}{49}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $49$ heraus.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{7}$