Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x - 9}{4 x + 5}$ , $x = 2$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 9$ und $g (x) = 4 x + 5$ .

$\frac{(4 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(4 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{(4 x + 5) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $4 x + 5$ .

$\frac{3 \cdot (4 x + 5) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 + 0)}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) \cdot 4}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x - 9)}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x - 9)}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 x + 3 \cdot 5 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{12 x + 15 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{12 x + 15 - 12 x - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$\frac{12 x + 15 - 12 x + 36}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $12 x + 15 - 12 x + 36$ .

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $12 x$ von $12 x$ .

$\frac{0 + 15 + 36}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $0$ und $15$ .

$\frac{15 + 36}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $15$ und $36$ .

$\frac{51}{{(4 x + 5)}^{2}}$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{51}{{(4 (2) + 5)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{51}{{(8 + 5)}^{2}}$

Schritt 5.2

Addiere $8$ und $5$ .

$\frac{51}{13^{2}}$

Schritt 5.3

Potenziere $13$ mit $2$ .

$\frac{51}{169}$