Analysis Beispiele

$y = - \frac{\frac{x^{- \frac{26}{9}}}{x^{\frac{1}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}$ , $x = 8$

Schritt 1

Bringe $x^{- \frac{26}{9}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{26}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Schritt 2

Multipliziere $x^{\frac{1}{9}}$ mit $x^{\frac{26}{9}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{9} + \frac{26}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{1 + 26}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Schritt 2.3

Addiere $1$ und $26$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{\frac{27}{9}}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Schritt 2.4

Dividiere $27$ durch $9$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9}$ mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3}}{9})]$

Schritt 4

Kombinieren.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} (\frac{1}{x^{3}} - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3} + 2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) x^{- 3}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 7

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Bewege $x^{- 3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{- 3} x^{3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{- 3 + 3} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 7.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 + x^{0} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 8

Vereinfache $x^{0} (- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}))$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{3} (2 x^{- 3})}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 9

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1

Bewege $x^{- 3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{- 3} x^{3} \cdot 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{- 3 + 3} \cdot 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 9.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + x^{0} \cdot 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Vereinfache $x^{0} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + 2}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 10.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{x^{3} \cdot 9}]$

Schritt 10.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{9 \cdot x^{3}}]$

Schritt 11

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1) - 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{9 x^{3}}]$

Schritt 12

Faktorisiere $3$ aus $- 18 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1) + 3 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{9 x^{3}}]$

Schritt 13

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))$ heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{9 x^{3}}]$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{3 (3 x^{3})}]$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))}{3 (3 x^{3})}]$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{3 x^{3}}]$

Schritt 15

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{3 x^{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{x^{3}}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})}{x^{3}}]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ und $g (x) = x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 17

Differenziere.

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Schritt 17.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 17.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 17.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 17.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 17.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 17.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{9}})]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{9}})]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 18.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}])) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 18.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}])) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 18.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- 6 (\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}])) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 19

Kombiniere Brüche.

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Schritt 19.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{1}{9}}}$ und $- 6$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (\frac{- 6}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 19.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{6}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}]) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 19.3

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{6}{x^{\frac{1}{9}}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{x^{3} \cdot 6}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 19.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{6 \cdot x^{3}}{x^{\frac{1}{9}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 20

Bringe $x^{\frac{1}{9}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{3} x^{- \frac{1}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 21

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{- \frac{1}{9}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.1

Bewege $x^{- \frac{1}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 (x^{- \frac{1}{9}} x^{3})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 21.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{- \frac{1}{9} + 3}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 21.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{- \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 21.4

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{- \frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 21.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 9}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 21.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 21.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{\frac{- 1 + 27}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 21.6.2

Addiere $- 1$ und $27$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- (6 x^{\frac{26}{9}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 22

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 23

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 24

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 25

Kombiniere $- 1$ und $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 27.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 27.2

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 28

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} (\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}}) - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 29

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x^{- \frac{8}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 6 x^{\frac{26}{9}} \frac{x^{- \frac{8}{9}}}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 30

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{- \frac{8}{9}}}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{26}{9}} \frac{- 6 x^{- \frac{8}{9}}}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 31

Kombiniere $x^{\frac{26}{9}}$ und $\frac{- 6 x^{- \frac{8}{9}}}{9}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{26}{9}} (- 6 x^{- \frac{8}{9}})}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 32

Multipliziere $x^{\frac{26}{9}}$ mit $x^{- \frac{8}{9}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 32.1

Bewege $x^{- \frac{8}{9}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{- \frac{8}{9}} x^{\frac{26}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 32.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{- \frac{8}{9} + \frac{26}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 32.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{- 8 + 26}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 32.4

Addiere $- 8$ und $26$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{18}{9}} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 32.5

Dividiere $18$ durch $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{x^{2} \cdot - 6}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 33

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 33.1

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 6 \cdot x^{2}}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 33.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $9$ .

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Schritt 33.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 (- 2 x^{2})}{9} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 33.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 33.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (3)} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 33.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 33.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 2 x^{2}}{3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 33.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 34

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 35

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 36

Um $- 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} - 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{x^{6}}$

Schritt 37

Kombiniere $- 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{- 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2} \cdot 3}{3}}{x^{6}}$

Schritt 38

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2} \cdot 3}{3}}{x^{6}}$

Schritt 39

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3}}{x^{6}}$

Schritt 40

Schreibe $\frac{\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3}}{x^{6}}$ als ein Produkt um.

$- \frac{1}{3} (\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{x^{6}})$

Schritt 41

Mutltipliziere $\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3}$ mit $\frac{1}{x^{6}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3 x^{6}}$

Schritt 42

Mutltipliziere $\frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3 x^{6}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{3 x^{6} \cdot 3}$

Schritt 43

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 (1 - 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44

Vereinfache.

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Schritt 44.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{- 2 x^{2} + (- 9 \cdot 1 - 9 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}}))) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 \cdot 1 x^{2} - 9 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 44.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 44.3.1.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.2

Vereinfache $- 6 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln ({(x^{\frac{1}{9}})}^{6})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{9}})}^{6}$ .

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Schritt 44.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{9} \cdot 6})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 44.3.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 6})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 2)})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 2)})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{1}{3} \cdot 2})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} - 9 (- \ln (x^{\frac{2}{3}})) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.4

Multipliziere $- 9 (- \ln (x^{\frac{2}{3}}))$ .

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Schritt 44.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + 9 \ln (x^{\frac{2}{3}}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.4.2

Vereinfache $9 \ln (x^{\frac{2}{3}})$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln ({(x^{\frac{2}{3}})}^{9}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{9}$ .

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Schritt 44.3.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{\frac{2}{3} \cdot 9}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 44.3.1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{\frac{2}{3} \cdot (3 (3))}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3)}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{2 \cdot 3}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{- 2 x^{2} - 9 x^{2} + \ln (x^{6}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{- 11 x^{2} + \ln (x^{6}) x^{2}}{9 x^{6}}$

Schritt 44.3.3

Stelle die Faktoren in $- 11 x^{2} + \ln (x^{6}) x^{2}$ um.

$- \frac{- 11 x^{2} + x^{2} \ln (x^{6})}{9 x^{6}}$

Schritt 44.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 11 x^{2} + x^{2} \ln (x^{6})$ heraus.

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Schritt 44.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 11 x^{2}$ heraus.

$- \frac{x^{2} \cdot - 11 + x^{2} \ln (x^{6})}{9 x^{6}}$

Schritt 44.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \ln (x^{6})$ heraus.

$- \frac{x^{2} \cdot - 11 + x^{2} (\ln (x^{6}))}{9 x^{6}}$

Schritt 44.4.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot - 11 + x^{2} (\ln (x^{6}))$ heraus.

$- \frac{x^{2} (- 11 + \ln (x^{6}))}{9 x^{6}}$

Schritt 44.5

Zerlege $\ln (x^{6})$ durch Herausziehen von $6$ aus dem Logarithmus.

$- \frac{x^{2} (- 11 + 6 \ln (x))}{9 x^{6}}$

Schritt 44.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 44.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{6}$ heraus.

$- \frac{x^{2} (- 11 + 6 \ln (x))}{x^{2} (9 x^{4})}$

Schritt 44.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2} (- 11 + 6 \ln (x))}{x^{2} (9 x^{4})}$

Schritt 44.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 11 + 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Schritt 44.7

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$- \frac{- 1 (11) + 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Schritt 44.8

Faktorisiere $- 1$ aus $6 \ln (x)$ heraus.

$- \frac{- 1 (11) - (- 6 \ln (x))}{9 x^{4}}$

Schritt 44.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (11) - (- 6 \ln (x))$ heraus.

$- \frac{- 1 (11 - 6 \ln (x))}{9 x^{4}}$

Schritt 44.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Schritt 44.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Schritt 44.12

Mutltipliziere $\frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{11 - 6 \ln (x)}{9 x^{4}}$

Schritt 45

Bestimme die Ableitung bei $x = 8$ .

$\frac{11 - 6 \ln (8)}{9 {(8)}^{4}}$

Schritt 46

Vereinfache.

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Schritt 46.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 46.1.1

Vereinfache $- 6 \ln (8)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{11 - \ln (8^{6})}{9 \cdot 8^{4}}$

Schritt 46.1.2

Potenziere $8$ mit $6$ .

$\frac{11 - \ln (262144)}{9 \cdot 8^{4}}$

Schritt 46.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 46.2.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{11 - \ln (262144)}{9 \cdot 4096}$

Schritt 46.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $4096$ .

$\frac{11 - \ln (262144)}{36864}$