Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{3 x - 5}$ , $x = 1$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{3 x - 5}$ als ${(3 x - 5)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 3 x - 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 5$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} (3 + 0)$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$- {(3 x - 5)}^{- 2} \cdot 3$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 {(3 x - 5)}^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{{(3 x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

Schritt 5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{3}{{(3 (1) - 5)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{3}{{(3 - 5)}^{2}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$- \frac{3}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 6.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{3}{4}$