Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{2})$ , $x = - 5$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung bei $x = - 5$ .

$\frac{2}{- 5}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{5}$