Analysis Beispiele

$y = \sqrt{3 + 5 x}$ , $x = 0$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 + 5 x}$ als ${(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 + 5 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 + 5 x$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 7.3

Bringe ${(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 11

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 14

Mutltipliziere $\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 (0))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{5}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}$