Analysis Beispiele

$4$ , $8$ , $16$ , $32$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $2$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = 2$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = 4$ und $r = 2$ ein.

$a_{n} = 4 \cdot 2^{n - 1}$

Schritt 4

Multipliziere $4 \cdot 2^{n - 1}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a_{n} = 2^{2} \cdot 2^{n - 1}$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{n} = 2^{2 + n - 1}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$a_{n} = 2^{n + 1}$

Schritt 5

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 6

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{4}$ zu ermitteln.

$S_{4} = 4 \cdot \frac{{(2)}^{4} - 1}{2 - 1}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$S_{4} = 4 \cdot \frac{16 - 1}{2 - 1}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$S_{4} = 4 \cdot \frac{15}{2 - 1}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$S_{4} = 4 \cdot \frac{15}{1}$

Schritt 8.2

Dividiere $15$ durch $1$ .

$S_{4} = 4 \cdot 15$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$S_{4} = 60$

Schritt 9

Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um.

$S_{4} = 60$