Analysis Beispiele

$3$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{3}{16}$ , $\frac{3}{64}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{1}{4}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{1}{4}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = 3$ und $r = \frac{1}{4}$ ein.

$a_{n} = 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$a_{n} = 3 \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Schritt 5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a_{n} = 3 \frac{1}{4^{n - 1}}$

Schritt 6

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{3}{4^{n - 1}}$

Schritt 7

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 8

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{4}$ zu ermitteln.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1^{4}}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9.3

Potenziere $4$ mit $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1 \cdot \frac{256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9.7.2

Subtrahiere $256$ von $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{- 255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 10.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 4}{4}}$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{- 3}{4}}$

Schritt 10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{- \frac{3}{4}}$

Schritt 11

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{3}{4}}$

Schritt 12

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $3$ aus $255$ heraus.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 (85)}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 \cdot 85}{256} \cdot \frac{4}{3})$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{256} \cdot 4)$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 (64)} \cdot 4)$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 \cdot 64} \cdot 4)$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{85}{64}$

Schritt 15

Multipliziere $3 (\frac{85}{64})$ .

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Schritt 15.1

Kombiniere $3$ und $\frac{85}{64}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 85}{64}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $3$ mit $85$ .

$S_{4} = \frac{255}{64}$