Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{9 - x^{2}}$ , $[- 1, 3]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.8.3

Bringe ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.14.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.14.3

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.18

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.20.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.23

Mutltipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.1.24

Um ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.26

Multipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.26.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{2} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} + {(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.26.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.26.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(9 - x^{2})}^{1}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.27

Vereinfache ${(9 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 9 - x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.28

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.29

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 2 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 2 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 2 x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = - 9$

Schritt 1.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 9$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 9$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 9}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 9}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

Schritt 1.2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ .

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Schritt 1.2.3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{2}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.3.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.4.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.3.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.3.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.3.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.3.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.3.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.3.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.3.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.3.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.3.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{- 2 x^{2} + 9}{\sqrt{{(- x^{2} + 9)}^{1}}}$

Schritt 1.3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{- 2 x^{2} + 9}{\sqrt{- x^{2} + 9}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{- 2 x^{2} + 9}{\sqrt{- x^{2} + 9}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{- x^{2} + 9} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- x^{2} + 9}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x^{2} + 9}$ als ${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x^{2} + 9)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$- x^{2} + 9 = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 9$

Schritt 1.3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.3.3.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 1.3.3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 1.3.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 1.3.3.3.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.3.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 1.3.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 1.3.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 1.3.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 1.3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x^{2} + 9}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x^{2} + 9 < 0$

Schritt 1.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.5.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 9$

Schritt 1.3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 9$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.3.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 1.3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 9$

Schritt 1.3.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

Schritt 1.3.5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.3.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{9}$

Schritt 1.3.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

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Schritt 1.3.5.4.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.3.5.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 3 |$

Schritt 1.3.5.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | > 3$

Schritt 1.3.5.5

Schreibe $| x | > 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.3.5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.3.5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 3$

Schritt 1.3.5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.3.5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 3$

Schritt 1.3.5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.3.5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > 3$ und $x \geq 0$ .

$x > 3$

Schritt 1.3.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.5.7.1

Teile jeden Term in $- x > 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.3.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.3.5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.3.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.7.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x < - 3$

Schritt 1.3.5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 3$ oder $x > 3$

Schritt 1.3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Schritt 1.4

Werte $x \sqrt{9 - x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{3 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{9 - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ an.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.1.2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.1.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.1.2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.1.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.1.2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.1.2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2}{4}}$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{18}{4}}$

Schritt 1.4.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{2 (9)}{4}}$

Schritt 1.4.1.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.4.1.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.4.1.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.4

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.5

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{9 \cdot 2 - 9}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{18 - 9}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Subtrahiere $9$ von $18$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{9}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.8

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{2}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.1.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.9.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.1.2.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.1.2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.1.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 1.4.1.2.10.1.1

Faktorisiere $\sqrt{2}$ aus $3 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.1.2.10.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.1.2.10.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \cdot 3$

Schritt 1.4.1.2.10.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2}$

Schritt 1.4.1.2.10.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$(- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{9 - {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ an.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ an.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 1.4.2.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 1.4.2.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 + {(- 1)}^{3} \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.4.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.2.2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.4.2.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9 \cdot 2}{4}}$

Schritt 1.4.2.2.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{18}{4}}$

Schritt 1.4.2.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 1.4.2.2.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{2 (9)}{4}}$

Schritt 1.4.2.2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.4.2.2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.4.2.2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 - \frac{9}{2}}$

Schritt 1.4.2.2.6

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}}$

Schritt 1.4.2.2.7

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}}$

Schritt 1.4.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{9 \cdot 2 - 9}{2}}$

Schritt 1.4.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.2.9.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{18 - 9}{2}}$

Schritt 1.4.2.2.9.2

Subtrahiere $9$ von $18$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{9}{2}}$

Schritt 1.4.2.2.10

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{2}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ um.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.2.11.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.2.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.2.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.2.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 1.4.2.2.12.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.2.12.1.2

Faktorisiere $\sqrt{2}$ aus $- 3 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.2.12.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.2.2.12.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{2} \cdot 3$

Schritt 1.4.2.2.12.2

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $3$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Schritt 1.4.2.2.12.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.2.12.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{- 9}{2}$

Schritt 1.4.2.2.12.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2}$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$(- 3) \sqrt{9 - {(- 3)}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 3 \sqrt{9 - 1 \cdot 9}$

Schritt 1.4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 3 \sqrt{9 - 9}$

Schritt 1.4.3.2.3

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$- 3 \sqrt{0}$

Schritt 1.4.3.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- 3 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.4.3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 3 \cdot 0$

Schritt 1.4.3.2.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$0$

Schritt 1.4.4

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 1.4.4.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$(3) \sqrt{9 - {(3)}^{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$3 \sqrt{9 - 1 \cdot 9}$

Schritt 1.4.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$3 \sqrt{9 - 9}$

Schritt 1.4.4.2.3

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$3 \sqrt{0}$

Schritt 1.4.4.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$3 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.4.4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 \cdot 0$

Schritt 1.4.4.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0$

Schritt 1.4.5

Liste all Punkte auf.

$(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{9}{2}), (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{9}{2}), (- 3, 0), (3, 0)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{9}{2}), (3, 0)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$(- 1) \sqrt{9 - {(- 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 \sqrt{9 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 \sqrt{9 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- 1 \sqrt{9 + {(- 1)}^{3}}$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 \sqrt{9 - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$- 1 \sqrt{8}$

Schritt 3.1.2.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- 1 \sqrt{4 (2)}$

Schritt 3.1.2.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 1 \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 1 (2 \sqrt{2})$

Schritt 3.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$(3) \sqrt{9 - {(3)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$3 \sqrt{9 - 1 \cdot 9}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$3 \sqrt{9 - 9}$

Schritt 3.2.2.3

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$3 \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$3 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 \cdot 0$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, - 2 \sqrt{2}), (3, 0)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{9}{2})$

Absolutes Minimum: $(- 1, - 2 \sqrt{2})$

Schritt 5