Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$4 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.9

Kombiniere $4$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 1.1.1.10

Multipliziere.

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Schritt 1.1.1.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.10.2

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $8 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 1.3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{8}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $4 x^{\frac{2}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$4 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$4 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 0^{2}$

Schritt 1.4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$4 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$4 {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, 4), (1, 4)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 1, 4), (1, 4)$

Absolutes Minimum: $(0, 0)$

Schritt 4