Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5$ , $[4, 7]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \sqrt{x} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.10

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.12

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 1.3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{2}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{\sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 1.3.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 1.4

Werte $4 \sqrt{x} + 5$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$4 \sqrt{0} + 5$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$4 \sqrt{0} + 5$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$4 \sqrt{0^{2}} + 5$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 \cdot 0 + 5$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + 5$

Schritt 1.4.1.2.3

Addiere $0$ und $5$ .

$5$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 5)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$4 \sqrt{4} + 5$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Entferne die Klammern.

$4 \sqrt{4} + 5$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 \sqrt{2^{2}} + 5$

Schritt 3.1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 \cdot 2 + 5$

Schritt 3.1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 + 5$

Schritt 3.1.2.3

Addiere $8$ und $5$ .

$13$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 7$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $7$ .

$4 \sqrt{7} + 5$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$4 \sqrt{7} + 5$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(4, 13), (7, 4 \sqrt{7} + 5)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(7, 4 \sqrt{7} + 5)$

Absolutes Minimum: $(4, 13)$

Schritt 5