Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} - x + 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.4

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Addiere $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.3.3

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(1 + x) (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1}{2 + 1}$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Schritt 1.4.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 1.4.2.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(1, 1)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Schritt 3.1.2.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Schritt 3.1.2.1.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

Schritt 3.2.2.3

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{3}{6 + 1}$

Schritt 3.2.2.4

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{3}{7}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(1, 1)$

Absolutes Minimum: $(0, 0)$

Schritt 5