Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 3]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.1.1.4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.1.4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.1.4.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.1.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.1.4.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.4.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.1.4.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.4.11

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.4.12.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.1.1.4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{7}{3}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.5.2

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3, 3, x^{\frac{2}{3}}, 1$

Schritt 1.2.2.2

Da $3, 3, x^{\frac{2}{3}}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $3, 3, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{2}{3}}$ .

Schritt 1.2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 1.2.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.2.6

Das kgV von $3, 3, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 1.2.2.7

Das kgV von $x^{\frac{2}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.2.8

Das kgV von $3, 3, x^{\frac{2}{3}}, 1$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$7 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Multipliziere $x^{\frac{4}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.1.3.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$7 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 x^{\frac{2 + 4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3.4

Addiere $2$ und $4$ .

$7 x^{\frac{6}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.3.5

Dividiere $6$ durch $3$ .

$7 x^{2} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 x^{2} + 3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 x^{2} + 3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$7 x^{2} + 4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.6

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.1.6.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$7 x^{2} + 4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 x^{2} + 4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 x^{2} + 4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.6.4

Addiere $2$ und $1$ .

$7 x^{2} + 4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.6.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$7 x^{2} + 4 x^{1} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.7

Vereinfache $4 x^{1}$ .

$7 x^{2} + 4 x - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$7 x^{2} + 4 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.8.2

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$7 x^{2} + 4 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 3) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 x^{2} + 4 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 3) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$7 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$7 x^{2} + 4 x - 3 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Multipliziere $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$7 x^{2} + 4 x - 3 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$7 x^{2} + 4 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 3 = - 21$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$7 x^{2} + 4 (x) - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Schreibe $4$ um als $- 3$ plus $7$

$7 x^{2} + (- 3 + 7) x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} - 3 x + 7 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(7 x^{2} - 3 x) + 7 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (7 x - 3) + 1 (7 x - 3) = 0$

Schritt 1.2.4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x - 3$ .

$(7 x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.3

Setze $7 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.3.1

Setze $7 x - 3$ gleich $0$ .

$7 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.3.2

Löse $7 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 3$

Schritt 1.2.4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 3$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 3$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{3}{7}$

Schritt 1.2.4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{3}{7}$

Schritt 1.2.4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{7}$

Schritt 1.2.4.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{7}, - 1$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{7 \sqrt[3]{x^{4}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{7 \sqrt[3]{x^{4}}}{3} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3.1.3

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{7 \sqrt[3]{x^{4}}}{3} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 1.3.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{7 \sqrt[3]{x^{4}}}{3} + \frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.3.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{3}{7}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3}{7}$ .

${(\frac{3}{7})}^{\frac{7}{3}} + {(\frac{3}{7})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(\frac{3}{7})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{7}$ an.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + {(\frac{3}{7})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(\frac{3}{7})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{7}$ an.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} - 3 {(\frac{3}{7})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{7}$ an.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} - 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Multipliziere $- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.4.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4.3

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4.7

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.2

Um $\frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{3}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $7^{\frac{7}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}}$ mit $\frac{7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Multipliziere $7^{\frac{4}{3}}$ mit $7^{\frac{3}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.2.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{4 + 3}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.3.2.3

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.1.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{1}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.5.2.1

Berechne den Exponenten.

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.5.2.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $3^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 7 \cdot 3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

${(- 1)}^{\frac{7}{3}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{7}{3}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{7}{3})} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 1)}^{3 (\frac{7}{3})} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 1)}^{7} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$- 1 + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- 1 + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.9

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- 1 + 1 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.2.2.1.10

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.4.2.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.4.2.2.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{1}$

Schritt 1.4.2.2.1.12

Berechne den Exponenten.

$- 1 + 1 - 3 \cdot - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 1 + 1 + 3$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0 + 3$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$3$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{\frac{7}{3}} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(0^{3})}^{\frac{7}{3}} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{7}{3})} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{3 (\frac{7}{3})} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{7} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.5

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$0 + {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 0^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + 0^{4} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.9

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$0 + 0 - 3 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.4.3.2.1.10

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0 - 3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.4.3.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 0 - 3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.4.3.2.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + 0 - 3 \cdot 0^{1}$

Schritt 1.4.3.2.1.12

Berechne den Exponenten.

$0 + 0 - 3 \cdot 0$

Schritt 1.4.3.2.1.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 1.4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 1.4.3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(\frac{3}{7}, \frac{3^{\frac{7}{3}} + 7 \cdot 3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}), (- 1, 3), (0, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

${(- 1)}^{\frac{7}{3}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{7}{3}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{7}{3})} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 1)}^{3 (\frac{7}{3})} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 1)}^{7} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$- 1 + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.5

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- 1 + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.9

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- 1 + 1 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.10

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.1.2.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{1}$

Schritt 2.1.2.1.12

Berechne den Exponenten.

$- 1 + 1 - 3 \cdot - 1$

Schritt 2.1.2.1.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 1 + 1 + 3$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.1.2.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0 + 3$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$3$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

${(3)}^{\frac{7}{3}} + {(3)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere $- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $1$ .

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2.2.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - 3^{1 + \frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.2.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - 3^{\frac{3 + 1}{3}}$

Schritt 2.2.2.1.6

Addiere $3$ und $1$ .

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - 3^{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.2.2.1

Subtrahiere $3^{\frac{4}{3}}$ von $3^{\frac{4}{3}}$ .

$3^{\frac{7}{3}} + 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $3^{\frac{7}{3}}$ und $0$ .

$3^{\frac{7}{3}}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, 3), (3, 3^{\frac{7}{3}})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(3, 3^{\frac{7}{3}})$

Absolutes Minimum: $(\frac{3}{7}, \frac{3^{\frac{7}{3}} + 7 \cdot 3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 4