Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 2 x + 6$ , $(0, 3)$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - 2 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{2} - 2 x + 6$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 6$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 2 \cdot 1 + 6$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$1 - 2 + 6$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 + 6$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$5$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(1, 5)$

Schritt 2

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 2.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die erste Ableitung $2 x - 2$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f' (0) = - 2$

Schritt 2.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 2.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die erste Ableitung $2 x - 2$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 2 (4) - 2$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (4) = 8 - 2$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$f' (4) = 6$

Schritt 2.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 2.4

Da die erste Ableitung um $x = 1$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 1$ ein lokales Minimum.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Kein absolutes Maximum

Absolutes Minimum: $(1, 5)$

Schritt 4