Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{9}{x - 1}$ , $[1, 4]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{x - 1}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{- 1}$ um.

$9 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$9 (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 1.1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.2.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$9 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $9 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.4

Werte $\frac{9}{x - 1}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{9}{0}$

Schritt 1.4.1.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{9}{0}$

Schritt 2.1.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\frac{9}{(4) - 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{9}{3}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $9$ durch $3$ .

$3$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(4, 3)$

Schritt 3

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Kein absolutes Maximum

Absolutes Minimum: $(4, 3)$

Schritt 5