Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 36$ und $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 36$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 36$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 36$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.1.1

Subtrahiere $2 x^{2} x$ von $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.2

Addiere $2 \cdot 36 x$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 36$ .

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.3

Addiere $72 x$ und $72 x$ .

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$144 x = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $144 x = 0$ durch $144$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $144 x = 0$ durch $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $144$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $144$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- 36}{0 + 36}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $36$ .

$\frac{- 36}{36}$

Schritt 1.4.1.2.3

Dividiere $- 36$ durch $36$ .

$- 1$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, - 1)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 36$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 36)}^{2} - 36$ und ${(- 36)}^{2} + 36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus ${(- 36)}^{2}$ heraus.

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe $36$ als $- 1 (- 36)$ um.

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ heraus.

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Schritt 2.1.2.1.1.4

Faktorisiere $- 36$ aus ${(- 36)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Schritt 2.1.2.1.1.5

Faktorisiere $- 36$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Schritt 2.1.2.1.1.6

Faktorisiere $- 36$ aus $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ heraus.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Schritt 2.1.2.1.1.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.7.1

Faktorisiere $- 36$ aus $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ heraus.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Addiere $- 36$ und $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $36$ und $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $37$ .

$\frac{- 35}{- 37}$

Schritt 2.1.2.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{35}{37}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $36$ .

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(36)}^{2} - 36$ und ${(36)}^{2} + 36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus ${(36)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ heraus.

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Schritt 2.2.2.1.4

Faktorisiere $36$ aus $- 1 (- 36^{2} + 36)$ heraus.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

Schritt 2.2.2.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.5.1

Faktorisiere $36$ aus $36^{2}$ heraus.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

Schritt 2.2.2.1.5.3

Faktorisiere $36$ aus $36 \cdot 36 + 36 (1)$ heraus.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Schritt 2.2.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Schritt 2.2.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $- 36$ und $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.3.1

Addiere $36$ und $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

Schritt 2.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 35$ .

$\frac{35}{37}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Absolutes Minimum: $(0, - 1)$

Schritt 4