Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $[1, 5]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Schritt 1.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 1.2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - x^{2}$

Schritt 1.2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = - 1$ um.

$- x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 1.2.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 1.2.5.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 1.2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 1.2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 1.2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $x + \frac{1}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 + 1$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$(- 1) + \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$- 1 - 1$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- 2$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$(0) + \frac{1}{0}$

Schritt 1.4.3.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(1, 2)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 + 1$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$(5) + \frac{1}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.2.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 \cdot 5 + 1}{5}$

Schritt 3.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25 + 1}{5}$

Schritt 3.2.2.4.2

Addiere $25$ und $1$ .

$\frac{26}{5}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(1, 2), (5, \frac{26}{5})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(5, \frac{26}{5})$

Absolutes Minimum: $(1, 2)$

Schritt 5