Analysis Beispiele

$f (x) = 9 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 6]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$18 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$18 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$18 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

Schritt 1.1.1.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{2}$ .

$18 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

Schritt 1.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$18 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

Schritt 1.1.1.3.6

Kombiniere $\frac{- 9}{2}$ und $x^{2}$ .

$18 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$18 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

Schritt 1.1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x = 0$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x = 0$ mit $2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 18 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 18 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 18 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 9 x^{2} + 18 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$- 9 x^{2} + 36 x = 0 \cdot 2$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$- 9 x^{2} + 36 x = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 9 x$ aus $- 9 x^{2} + 36 x$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $- 9 x$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$- 9 x \cdot x + 36 x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $- 9 x$ aus $36 x$ heraus.

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 4 = 0$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere $- 9 x$ aus $- 9 x (x) - 9 x (- 4)$ heraus.

$- 9 x (x - 4) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 9 x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $9 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$9 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Schritt 1.4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$9 {(4)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{3}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$9 \cdot 16 - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{3}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$144 - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{3}$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$144 - \frac{3}{2} \cdot 64$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$144 + \frac{- 3}{2} \cdot 64$

Schritt 1.4.2.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$144 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (32))$

Schritt 1.4.2.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 32)$

Schritt 1.4.2.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$144 - 3 \cdot 32$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $32$ .

$144 - 96$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $96$ von $144$ .

$48$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (4, 48)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$9 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Schritt 2.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Schritt 2.1.2.1.4

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 6$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $6$ .

$9 {(6)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(6)}^{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$9 \cdot 36 - \frac{3}{2} \cdot {(6)}^{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $36$ .

$324 - \frac{3}{2} \cdot {(6)}^{3}$

Schritt 2.2.2.1.3

Potenziere $6$ mit $3$ .

$324 - \frac{3}{2} \cdot 216$

Schritt 2.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$324 + \frac{- 3}{2} \cdot 216$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $216$ heraus.

$324 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (108))$

Schritt 2.2.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$324 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 108)$

Schritt 2.2.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$324 - 3 \cdot 108$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $108$ .

$324 - 324$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $324$ von $324$ .

$0$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (6, 0)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(4, 48)$

Absolutes Minimum: $(0, 0), (6, 0)$

Schritt 4