Analysis Beispiele

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + e^{- 4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 4 x$ .

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.1.2.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Schritt 1.1.1.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Schritt 1.1.1.2.5

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $e^{- 4 x}$ durch $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Schritt 1.2.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 1.2.5.1

Zerlege $\ln (e^{- 4 x})$ durch Herausziehen von $- 4 x$ aus dem Logarithmus.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Schritt 1.2.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Schritt 1.2.6

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Schritt 1.2.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x + e^{- 4 x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1

Schreibe $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ als $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ um.

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ , indem du $\frac{1}{4}$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Schritt 1.4.1.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Schritt 1.4.1.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Schritt 1.4.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ in den Zähler.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Schritt 1.4.1.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Schritt 1.4.1.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Schritt 1.4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.4.1.2.7

Mutltipliziere $\ln (\frac{1}{4})$ mit $1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.4.1.2.8

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$- 2 + e^{8}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$3 + e^{- 12}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 2, - 2 + e^{8})$

Absolutes Minimum: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Schritt 4