Analysis Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 16 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (16 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y'$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$16$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x = 16$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' = 16 - 2 x$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 16 - 2 x$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 16 - 2 x$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- x}{y}$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $\frac{8}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Schritt 7.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- x = - 8$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x = 8$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$64 + y^{2} = 16 (8)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $16$ mit $8$ .

$64 + y^{2} = 128$

Schritt 8.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = 128 - 64$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $64$ von $128$ .

$y^{2} = 64$

Schritt 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64}$

Schritt 8.5

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

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Schritt 8.5.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 8.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 8$

Schritt 8.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 8$

Schritt 8.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 8$

Schritt 8.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 8, - 8$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(8, 8)$

$(8, - 8)$

Schritt 10